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中学数学中的类比法及其功能研究

【摘 要】类比法是数学创造性思维中的一种重要的方法,通过类比法帮助学生理解新概念、建立新的知识体系,帮助学生掌握、发现定理、公式和探索解题思路.在中学数学教学中培养学生类比思想不仅可以帮助解决问题,而且有助于引出新的问题,做出新的猜想以及构造新的数学对象等。

【关键词】类比法;中学数学;解题

数学新课程标准中有许多关于类比的问题。如“能根据解决问题的需要,收集有关信息进行归纳、类比和猜想”,“通过观察、实验、归纳、类比、推断获得猜想”等。在授新课时,通过对旧知识的回忆、类比可以使学生猜想出新授知识的内容、结构、研究思想与方法.激发学生的积极性,变被动听课为主动学习,也可以在研究他人成果的基础上,按照类比的方法,主动、大胆的去猜测可能存在的新结论、新规律。通过对这些猜想的研究,发现新的成果及可以培养自身的创造能力。

一、类比法的涵义

类比法是根据两个或两类事物在某些属性上相同或相似,从而推出它们在其他属性上也相同或相似的推理方法。其逻辑形式如下:A具有性质a1,a2,a3,…,an及d;B具有性质a1′,a2′,a3′,…,an′.因此,B也有可能具有性质d′.其中a1与a1′,a2与a2′,a3与a3′,…,an与an′,d与d′分别相同或相似。

类比法是一种由特殊到特殊的推理方法,其结论内的可靠程度,依赖于两个研究对象的共有属性,一般说来,共有属性愈多,结论的可靠程度就愈高。

二、类比法在数学解题中的应用

2.等差数列与等比数列的类比

数列在高中新教材必修五第二章,重要内容之一就是等差数列和等比数列这两类基本数列。它们在内容上是完全平行的,包括它们的定义、性质、通项公式、前项和的公式等。因此,在教学过程中采用类比的方法,有利于学生弄清等差数列和等比数列之间的联系和区别。

例:对等差数列的概念问题,作如下指导。

问题1:等差数列的概念

答:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列称为等差数列。这个常数称为公差,记为d。

. d=an-an-1(n≥2)

问题2:类比等差数列的概念,给等比数列下定义

答:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列称为等比数列。这个常数称为公比,记为q

问题3:公差d的取值范围。公比q的取值范围。

答:d∈R;q∈R,q≠0

问题4:常数数列一定是等差数列吗?一定是等比数列吗?

答:常数数列一定是等差数列;非零常数列一定是等比数列。

通过类比思维方法让学生对知识点掌握的更好,还可以激发学生的学习兴趣,让他们课后去研究类似的其他数列。

3.类比法在几何解题中的应用

立体几何从研究方法上讲,是平面几何的继续;从研究对象上讲,是平面几何的扩展,立体几何与平面几何中相似的问题也有相似的解法。有些几何问题,或图形类似,或条件类似,或结论类似等,通过类比分析,能更快地悟出解题的思路。

三、类比法在中学数学教学中的应用

在中学数学教学中,我们可以通过类比学习新知识,帮助学生有效的理解重点难点,加深学生对重要概念的理解,培养学生解决问题的能力。也可以通过类比来推广数学命题,还可以通过类比法沟通知识间的联系,帮助学生建立良好的认知结构。

学生在学习集合的表示方法中的描述法的时候,往往只注意它们的一些外在形式,而忽略了它的一些本质特征.尽管老师一再强调要注意我们研究的对象,但学生可能认为那是小问题,不太在意。于是,可引导学生先探索课本例题。

学生看到这两个式子,可能马上会说,是一样的.再引导学生看这两题的研究对象,同学们通过看了以后发现,第二个式子研究的只是函数值y,所以把答案改成2。这也是不对的。实际上,这里的集合A,B表示的都是实数集,所以它们的交集也是实数集。第二个式子的解为

通过以上的对比,同学们不但加深了对集合概念,集合的表示法的理解,同时,有效地提高了学生的解题能力。

四、总结

类比法是一种重要的数学方法。在中学数学教学中,注重类比法的讲解和应用对帮助学生学习数学、发展数学思维是非常有用的,而且对学生数学创新能力也是大有裨益的.总之,类比法是数学教学和学习中常用的方法,只要我们注意运用,在减轻学习负担的同时,还能提高分析问题和解决问题的能力。

【参考文献】

[1]钱玲,邵光华编著.数学思想方法与中学教学.北京师范大学出版社.1997,7.21-23

[2]张奠宙,过伯祥著.数学方法论稿.上海教育出版社.1996,3.49-50

[3]杨勇,罗敏.“类比法”在数学教学中的应用.学科教学,2005,24.45-46

(作者单位:张家港市乐余高级中学)

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