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在数学研究性学习中培养学生审美能力

河北省乐亭县第二中学 赵春祥

【摘  要】 数学美在于其和谐、自然、对称、统一、奇异,这些内容只要教师有目的地、合理地安排穿插在课堂教学中,让学生在学习中不断地去发现数学的内在美,学生就会对数学学习兴趣倍增,并能积极主动地深入到社会实践中去观察、分析、思考、体会,从而扩大视野,增加知识面,增强应用意识。在研究性学习活动中要使受教育者接受数学知识的思维活动寓于美的愉悦之中,要引导学生去发掘数学之美,良好的美感能够成为学生开启数学知识宝库之门的钥匙。

【关 键 词】 研究性学习;数学美;美育价值;审美原则

【作者简介】 赵春祥,河北省特级教师,理学学士,主要从事中学数学教学教材、教法研究。

中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1671-0568 (2015) 10-0115-05

研究性学习的实施,正是着力于改进传统教育的弊端,朝着唤醒学生的主体意识,激活学生的创新思维,引导学生自主学习数学兴趣,使学生亲身感受探索学习的激情和愉悦,培养全面发展的人的方向迈进。高中数学新课标指出:“体会数学的美学意义,从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观”。所以,数学的审美教育就成为育人不可或缺的一部分。在课堂教学中,教师要合理引导,把教学内容中固有的数学美展示给学生,利用数学美去激发学生的学习动力和学习兴趣,引发他们的心灵感应,从而全身心投入到数学“再创造”的活动中,为创新奠定基础。在展示数学美中体现数学价值,揭示数学的本质,感染学生,激励学生,让学生在享受美的教育中学习。在这一过程中,审美所具有的知觉、想象、情感特点,对研究性学习的实施,具有独特的功能。数学教学要进一步渗透发现美的教育,从多方面对学生审美能力产生影响,营造良好的环境。在美的氛围中陶冶学生的审美情操,让学生体验美、欣赏美、创造美。

数学的美育价值也愈来愈被教育界所注目。培养学生的数学美感,既是研究性学习的需要,也是数学审美教育的目的之所在。审美主体(学生)从审美对象(数学)中获得美感的“桥梁”就是数学教师。所以,在数学审美教育中充分认识和肯定数学教师的作用和明确对数学教师的需求是十分必要的。数学有自然科学的皇后美称,其实,社会科学也无法离开数学。数学不仅具有抽象性、逻辑性,也具有丰富的美学内容。英国著名哲学家、数理逻辑学家罗素认为“数学,如果正确地看待它,不仅拥有真理,而且也具有至高的美”。因此,数学也是一种美学,数学所揭示的规律,深刻地表现了客观世界在数量与形式上的美。也正是这一点,更体现了数学的科学性。用美的观点去学习、研究数学,能使数学研究进入更新、更广阔的领域。在数学教学中,深入挖掘并艺术地表现出数学美的特征,不仅可以培养学生正确的审美观和鉴赏美、创造美的能力,而且还可以激发学生学习数学的兴趣和深层次探求知识的欲望。这样,学生在学习数学的活动中就能找到乐趣,从中领悟到数学的美 ,产生对数学的爱,在审美愉悦中得到知识。这就是以数学美来启发学生学习数学的最佳动机。

一、借助定律,挖掘数学形式美

在课堂教学中,运用美的形式感染引导学生,就可以摆脱枯燥乏味的讲授。根据课堂教学内容,联系现实生活中学生熟悉的实际问题,运用大量生动的感性材料进行解说,以数学美的魅力拨动学生的心弦,促进学生理解学习内容,从而更迅速地掌握学习内容。如黄金分割律0.618,这是一个最美的数字,这个美学数字无处不有。神学家阿奎那曾说过:“愉快的感觉来自恰当的比例”,这个比例就是黄金分割比。人的身体各部分之间的比例,健美的人体结构与黄金分割律比例有着极为密切的关系。不管是人体结构的整体,还是人体的局部,到处可以寻觅到黄金分割律的比值 0.618。眼睛、耳朵、鼻子的宽与长之比是 0.618;人的肚脐以上与肚脐以下的比值也是 0.618。

在几何图形中,一系列黄金图令人目不暇接。黄金椭圆 (含有黄金比的椭圆)尤为典型,一种是短长轴比为0.618:1,它在视觉上呈现绝对的完美,我们称之为显性黄金椭圆;另一种是离心率为黄金比的椭圆,它蕴含着许多美妙的性质,我们称之为隐性黄金椭圆。二者关系形如孪生,可谓椭圆中的“极品”。 显性黄金椭圆的短长轴比为—=φ (φ为黄金比,他是希腊雕刻家菲狄亚斯希腊字母的首字母,据说他是第一个在自己的作品中用黄金比的人),离心率为 φ;隐性黄金椭圆的离心率为φ,短长轴比为φ。黄金椭圆椭圆除了具有一般椭圆的性质外,还有简单、统一、对称、和谐的数学美,在珠宝首饰应用比较广泛。黄金椭圆这些图形蕴含着客观美和数学的奇异之美,深受人们的喜爱与重视, 在艺术及生活中都有着广泛的应用,比如甲壳虫汽车外造型符合优美黄金分割椭圆的上半部分,侧窗重复了黄金分割椭圆形状。由此我们得出这样一个结论:人类对自然的审美是物质性的。是出于对人类身处的世界的适应,审美绝非主观先验的东西,正如“源于生活,高于生活”一语所阐释。设计应该是对自然的高级模仿——而这种模仿必须是认知清楚基础之上的主观能动的行为。

再看三角形,顶角为36°的等腰三角形称之为“黄金三角形”,它的腰长与底边的比就是黄金分割比;它的底角内平分线截对腰为两条线段,这两条线段的比也是黄金分割比。它具有良好的再生比,比如把它的底角平分,会产生两个新的黄金三角形。联结两底角平分线与两腰的交点,联线段以上的部分又是一个黄金三角形。依次做下去会形成一个美丽的“黄金三角形塔”,里面有无数多个黄金三角形,它挺拔、俊俏,给人以对称、均衡的形象之美。正方形也不例外,宽长比为黄金比的矩形称之为“黄金矩形”,在这个黄金矩形中分出一个正方形,位于左边,右边剩下的仍是一个小的黄金矩形。在这个黄金矩形中再分出一个正方形,位于上边,下边剩下的是一个更小的黄金矩形。一直继续下去,就会得到一个“黄金矩形套”,里面有无数多个黄金矩形。我们用一条光滑的连续曲线把所有正方形的顶点连接起来,得到的就是对数螺线或等角螺线。海螺、蜗牛的外形就非常近似于对数螺线。黄金矩形被美术界公认为“地球上最具有调和性而美丽的矩形”,其图案常常现身于艺术中诠释美,古希腊的帕德嫩神庙就含有黄金矩形。还有五角星端庄匀称,线段间充满了黄金分割关系,因为正五边形的两条在形内的对角线互相黄金分割。在举世闻名的巴黎埃菲尔铁塔中和维纳斯塑像中都能找到这种比例数字。黄金分割律 0.618 已被美学界称为美的信条,正如文艺复兴时期意大利数学家帕乔里说的“一切企求成为美的世俗物品,都得服从黄金分割律”。

二、联系实际,展现数学自然美

数学美的另一体现是它可以客观地反映自然美,大自然中的美都与数学有着千丝万缕的联系,细心观察日常生活和艺术活动,就会发现随处见到数学的自然美。在课堂教学中,如果把数学美和大自然结合起来就能使学生更好地感知和理解数学的魅力,从而在教学中形成主动活泼的学习气氛,在美的熏陶中充分发挥学生在数学方面的创造性潜能,加深对知识的记忆。如花儿自古就是美的象征,它们除了缤纷灿烂的颜色外,还与花朵的排列和花瓣数目有关,花瓣的排列是一种十分有趣的而又深奥的自然现象。数学中的菲波那契数列就巧妙地解说了它。菲波那契数列的通项公式为F=Fn-1+Fn-2 (Fn1=F2=1, n为大于2的自然数),这个数列是由十三世纪文艺复兴时期著名的意大利数学家菲波那契在他所著的《算盘全集》中提出的,经研究,自然界中的许多花瓣数目都符合该数列的。在大多数情况下,一朵花的花瓣数目都是3、5、8、13、21、34、55……。数学方程与曲线和花儿有机地结合,给数学美增添了新的内容。 x3+y3=3axy在现代数学中称之为“笛卡儿叶线”,曾被著名数学家笛卡儿取名为“茉莉花瓣”,这一方程代表的曲线可以表示某花的外部轮廓。科学家对植物叶子和花朵的图案也作了研究,发现辐射对称的花和螺旋排列的果,它们在数学中符合黄金分割的规律。松果和向日葵的螺旋成长方式是相似的,两者的种子都是沿着两个反向旋转的交叉螺旋线生长的,而且每颗种子都同时属于这两种交叉的螺旋线。通过对松果种子螺旋线的研究,发现有8条顺时针方向的螺旋线,13条逆时针方向的螺旋线,在向日葵的螺旋线中,有21条顺时针方向的螺旋线和34条逆时针方向的螺旋线。在松果中发现的数字8和13以及在向日葵中发现的数21和34对数学家们来说是很熟悉。它们都是斐波纳契数列的相邻数。在这个数列中的每个数字都是前两个数字的和:0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……,这些相邻数字的比例逐步逼近黄金分割率0.618:1。另外还有向日葵花盘上果实分布排列的葵花籽是其圆盘上能排列的最大值;常见的常青藤的叶片形状,可用三角函数来表示;车前草的叶片和叶片之间的夹角为137°30´,这是圆的黄金分割比例;梨树的叶片排列是沿对数螺线上升,叶和叶之间充分体现了叶片排列的最优选择;“心形线”“对数螺线”“三叶玫瑰线”“双纽线”等一系列方程式可以近似地表达槭数、酸模、柳树、三叶草、睡莲等的叶子和花瓣形状。这样,学生了解了花瓣的形状,就可以加深理解这些曲线的特征。

蜜蜂的蜂房是自然的对称形式,这种建筑轻巧坚固,美观实用,是一个典型的完全满足数学规律的美学建筑。英国数学家马克劳林经过研究证实,这些蜂房的六角形窝洞的六个角,都有一致的规律,钝角等于109°28´,锐角等于70°32´,并且还能以单薄的结构获得最大的强度。这种巧妙对称的协调,正是体现数学当中的结构美。

三、挖掘内涵,探索数学对称美

从古希腊起,对称性就被认为是数学美的一个基本内容。毕达哥拉斯说:“一切立体图形中最美的是球体,一切平面图形中最美的是圆形。”因为,这两种形体在各个方向上都是对称的。所以,对称是一种平衡状态,是美的形式。

对称美是指组成某一事物或对象的两个部分的对等性。数学对称美表现为下列三种形式:第一,数和式的对称美。数学的对称的源头来自于代数中多项式方程的解,代数中对称的现象有很多,像二项式定理,杨辉三角,函数具有奇偶性的必要非充分条件是函数的定义域关于原点对称等。第二,图形的对称美。又如等腰三角形、等腰梯形、矩形等轴对称或中心对称图形,它们所反映的图形以对称美使人眼花缭乱。圆是轴对称图形,有无数多条对称轴,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴;圆又是中心对称图形,绕对称中心(圆心)旋转任意角度都能自相重合,其形状可谓是增之显多,减之显少。这种完美的“全方位”对称性在平面中仅圆具有。正弦函数y=sinx的图像夹在平行线之间呈美丽的“波浪”形且关于对称轴x=kπ+— (k∈Z)对称,其对称中心分别是点(kπ,0)(k∈Z)。第三,数学思想和方法的对称美。如分析法与综合法,直接法与反证法,逻辑思维与逆向思维,动静结合互相转化的思维,或然与必然的思想方法等。人们发现,周长一定时,图形面积的大小和它的对称性之间有着十分奇妙的关系:具有中心对称性的图形面积可占有最大值。

在数学中,对称的概念、对称的运算、对称的图形、对称的公式、定理等等,数学中的对称现象不胜枚举。在已知三边长求三角形的面积公式中,我国南宋数学家秦九韶和古希腊数学家海伦都推导出了公式,但由于海伦公式具有对称、整齐的美感,因而更易为人所接受。对称给人以均衡、完美、稳重、简单、和谐、匀称的感觉,带给人们美的享受。对称不仅给人以美感,更重要的是一种思想方法,从数学史看,许多很久解决不了的难题,往往在对称性的认识上有了新的突破后,得到圆满解决。1637年,笛卡儿创立了解析几何学,就是在数学方程和几何图形之间建立的一种对称关系,这样,许多问题的解决都采用了对称原理。如建立适当的坐标系,可使运算过程简化,所得的方程简捷。在数学教学中,通过数式、方程、几何图形所具有的对称性,让学生领略这种对称美,可启发学生认识和掌握规律,寻找出解题方法。

利用对称性解题,思路灵巧、解法简捷,使学生体会到数学解题美的感染力,从而增强了学生分析问题、解决问题的能力。因此,数学对称美能起到优化解题思路和简化解题过程的功效。通过探求对称美、利用对称美、掌握对称美的规律,达到认识数学解题的规律。

四、综合提炼,追求数学统一美

数学的统一美是数学美的重要特征之一。统一性是指在不同的数学对象或统一对象的不同组成部分之间所存在的内在联系或共同规律。德国大数学家希尔伯特指出“数学科学是一个不可分割的有机整体,它的生命正是在于各个部分之间的联系,数学的有机的统一,是这门科学固有的特点”。数学的基本结构构成为数学美的基本源泉,即数学美充分地表现在数学结构的统一性。在数学中,统一的表现手法是多样的,一个定论,一个算式等往往涵盖了诸多结论,使得不同形式的问题归结到了统一形式。例如,平面几何中的相交弦定理、切割线定理、切线长定理都可以统一于圆幂定理。在平面解析几何中椭圆、双曲线、抛物线曾分别下定义,但这三者可统一在“与一定点(焦点)的距离和一条直线(准线)的距离比等于常数e(e≥0)的点的轨迹”这一定义之中;三种曲线又可看作由不同平面截同一圆锥而所得的截线;它们的直角坐标方程都是二元二次方程,同时它们都具有统一的极坐标方程( )。圆锥曲线三种语言的这种内在统一,构成了一幅美丽的数学风景。数学中的统一如同客观世界的统一,是多样的统一,于理论与方法均如此。以“距离”概念而论,中学里学过:两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、两平行线之间、两平行平面之间、直线与平行平面之间的距离等概念。诸多的“距离”可统一为:设A—是一个非空集合,对任意x、y∈A,按照一定法则对应一个实数P(x,y),它满足非负性、对称性、三角形不等式等条件,则称P(x,y), 为x、y的距离,而A是以p为距离的距离空间。这样的统一,抓住了多样事物的本质与规律,提升到新的高度,并展开了对更多数学对象的研究,例如,可以在[a,b]上连续函数f(t)组成的集合c∈[a,b],定义“距离”构成距离空间,等等。这像一首和谐的乐曲又展开了新的乐章。

在数学教学中,教师如能从形式多样的解题方法中指出统一的解题思想,对某些类型的题目,作进一步的概括综合和挖掘提炼,或从整体上把握内容,都可以使初学者更好地发现美的所在。教师如能努力挖掘教材中的潜在因素,充分展示数学美的统一性特征,有利于学生形成良好的知识结构。对数学教学中的许多问题,教师应适当引导学生进行统一归纳,这样易于解决相应复杂的问题。

数学的统一美,美在揭示了数学的普遍联系上,美在数学对客观世界和谐协调、井然有序的真实反映上,从而使人们居高临下,揽括一切,增强了人们洞察世界的深广度,使人们获得更多的新成果,理解更多的新现象,对未知事物作出更可靠的预言,并使数学与其他科学合作,在改造世界中取得更大的成果。追求数学统一美,必将促进数学及其他科学的进一步发展。数学教学中揭示数学美的统一特征,教师要使学生在头脑中建立“知识链”,形成知识网络,使学生学会整理知识的方法,引导学生体会并理解数学各分支(代数、三角、几何)间的统一美,提高思维的概括性以及综合运用的能力。

五、多方审视,揭示数学和谐美

数学的和谐美一是体现在形式的简单性。数学的特点决定了数学形式的简单性:首先,数学语言是简单统一的符号语言;其次,数学的出发点是公理,而公理是简单、明晰的;最后,数学问题的解决也是化繁为简的过程。所以,简单性是数学美的特征,也是数学所要求的,从杂乱无章的自然现象中抽象出数学概念,再用简单的数学形式表示,然后反过来又解释更多现象。 二是体现在对称性和和谐性的统一。 对称就是整体各部分间的相称与相适应,和谐就是协调。对称和和谐都是形式美的要求,它给人们一种圆满的、匀称的美感。三是体现在数学比例与优美的曲线或图形的形式美。比如直角三角形斜边的平方等于其两直角边的平方和a2+b2=c2;再如圆周长公式C=2πr这个初等数学公式,揭示了圆周长和半径之间的一种简洁、奇妙、和谐的比例美。世界上存在着很多圆,但是数学定义中的圆比任何画家、艺术家所能描绘的圆更完美更和谐。四是体现在理论体系内部的严谨。数学体系是把自然规律抽象成一些概念、公式或定理,并通过简洁的推理证明出各种令人惊叹的公式和定理,充分表现了其内在的和谐性,从中感受到一种崇高、博大、妙不可言的和谐美。例如,从等式ab=N出发,①已知a、 b求N这要用到乘方运算;②已知b、 N求a用到开方运算;③由和谐美原则,已知a、 N求b用到一种新的运算即对数运算。只有这三种运算融为一体,才能完美地揭示ab=N中的运算关系,若没有对数运算的引入,这似乎是一个残缺的“月亮”,就为求指数运算带来了困难。又如棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台等形状各异但他们的体积公式都能统一到同一公式 中。

数学有很多分支很多内容,这些内容不是互不相干的堆积起来的,而是互相联系成一个有机的整体。整个数学体系的前后关联、交相呼应、浑然一体、天衣无缝,构成一个庞大的知识网,千丝万缕,有理可依,有论可据,绝对是世上最完整的美、最和谐的美。尽管数学早已枝繁叶茂,硕果累累,但归根结底,数学来自于生产实践,来自于现实世界。因为我们的自然界本身是对称的、和谐的、有规律的,所以反映到数学上即表现为数学的对称性和和谐性。

数学中的和谐美贯穿于全部数学体系之中。古希腊哲学家亚里士德曾说过:“数学的科学特别体现了秩序、对称和明确性,而这些也正是美的主要形式。”这就是说,美在于事物本身的秩序匀称、互相协调、和谐统一。数学内容尽管绚丽多姿,却能互相转化、结合。中学数学中的互补概念、互否命题或互为补集思想都是对立的统一;几何、代数、三角间相互转化,都可以表明各种数学思想与形式是和谐的统一,美的结合。课堂上习题教学如果全方位多角度审视分析,通过寻求数、式、形之间内部和外部的和谐美,猜想条件和结论间的和谐美,使学生觉得数学包含着无穷无尽的趣味和千变万化的风采,和谐的审美原则还能帮助学生制定解题策略和指明解题方向。

数学美的和谐性特征,让学生对前后知识进行比较,理解它们的内在联系,从而形成知识的有序结构和解题的方法体系,这样可以减轻他们的学习负担。

六、出奇制胜,感受数学奇异美

在数学中出现一种新而不平常的关系结构,能在人们的想象中诱发一种乐趣,在人们心灵深处产生出一种愉悦的惊奇,这就是数学的奇异美。培根说:“美在于独特而令人惊异”“没有一个极美的东西不是在调和中有着某些奇异。”数学的发展就像精彩故事一样的波澜壮阔,此起彼伏,扣人心弦,令人陶醉。既在情理之中,又在意料之外,是和谐与奇异的统一体。

奇异美是数学美的另一个基本内容。它显示出客观世界的多样性,是数学思想的独创性和数学方法新颖性的具体体现。奇异,包含着多方面的含义,一是新颖、富有创造性,具有独特之处;二是新奇、出乎常识和预料,使人赞叹、惊愕。奇异美即在于求“新”求“异”。这恰好符合人类在科学中不断探索、不断前进的精神。因为奇异,使人们产生崇高感,在数学中对于新奇的领域和新奇的问题,也可以使人产生无限的想象空间和神秘莫测的美感。在数学的发展过程中,不断出现统一各部分的新理论,同时又不断出现无法包括在这个理论之中的奇异的对象。这些奇异的对象又反过来促进数学的发展,数学的发展及不断的扩展充分说明了这一点。历史上,哥德巴赫猜想,地图着色的五色问题,都引起了无数数学家的无限兴趣。从有理数发展到无理数,从实际中一维、二维、三维空间,到抽象的n维空间的建立,从有限的观念,到无限的观念的认可,每一次认识上的深化,都导致了数学理论的重大进展。可以说,数学的历史,就是一部不断探索的历史,就是一部不断产生奇异性,又不断解决奇异性的历史。在数学中,许多奇异对象的出现,一方面打破了旧的统一,另一方面又为在更高层次上建立新的统一奠定了基础。

数学中出人意料的反例和巧妙的解题方法都令人叫绝,表现出奇异的美,也闪耀着智慧的光芒,这就是数学解题魅力所在。许多奇异的设想,常能成为新思想和新方法的起点。某些数学问题若能抓住其“个性”,不但能获得令人惊叹不已的解法,还能从中感受到数学的奇异美,感受到创造的喜悦和成功的乐趣,从而令人陶醉神往。

奇异美是数学中重要的美学因素,数学领域中的一些新观念的产生,就是来自数学家们对于数学领域中奇异美的追求和渴望。这种奇异美可以激发学生的创新欲望,培养创新精神,同时在主动探索的过程中能体验到数学奇异美。抓住奇异的现象,珍视奇妙的思维,关注奇特的结果,是数学研究中极具诱惑力的内容之一,是数学研究上取得突破性进展的重要途径,是数学研究不尽源泉的一个动力。数学中的奇异美犹如艺术中的崇高美,带给学生的是震撼,不是畏惧,是一种力量。数学的奇异美改变了学生在认知上的局限性,增强了学生对真理的追求。

在数学教学活动中,对数学美的追求,美感和审美能力起到重要的作用。因此,把数学中美的因素引到课堂教学,从审美的角度把握教材,揭示概念、公式、法则,分析习题结构,让学生沉浸在美的享受之中,自发地产生审美需求和求知渴望,轻松愉快地从感性向理性过渡,达到审美教育的目的。通过正确地引导学生审视数学美、挖掘数学美、创造数学美、追求数学美,带领学生进入数学美的王国,陶冶精神情操,让学生在美的熏陶中精神得到升华,感情产生共鸣,知识得到丰富,使整个课堂教学形象化,这样,就可以减少记忆负担,提高学习效率。

在研究性学习活动中培养学生审美能力,主要是培养学生的审美感受力、理解力、想象力、鉴赏力。在数学教学的过程中,通过数字美、符号美、构图美,使学生感受数学知识的内在美,增强对数学知识的喜爱,并通过“内化”逐步迁移为对数学知识的强烈追求,从而激发学生对数学学习的兴趣。利用审美思想进行数学教学,会使数学课堂更生动、更开放、更能适应时代的发展。

参考文献:

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[4] 暨洪彪.挖掘数学美,享受数学快乐[J].南平师专学报,2006,(4).

(编辑:刘金华)

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